111 replies to this topic

[truclamyentu]

HỆ PHƯƠNG TRÌNH , PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC 2011
HI VỌNG CÁC BẠN ỦNG HỘ

Như các bạn đã biết , trong kì thi tuyển sinh đại học thì luôn có ít nhất là 2 câu pt,hpt vì vây mình lập topic này để mọi người cùng tham gia trao đổi ,thảo luận.Mời các bạn tham gia giải và post đề
Đề nghị : chuẩn xác , rõ ràng , không quá vắn tắt,kiểm tra kĩ đề trước khi post đề




1/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} + 2{x^3}y + {x^2}{y^2} = 2x + 9}\\{{x^2} + 2xy = 6x + 6}\end{array}} \right.$

Edited by truclamyentu, 26-05-2011 - 20:25.

[h.vuong_pdl]

@@@: Một hệ phương trình khá hay!

Cộng theo vế 2 phương trình ta thu được:
$x^2y^2 + 2xy(1+x^2) + (x^4+x^2-8x - 15) = 0$

Xét $\Delta'_{xy} = (1+x^2)^2 - (x^4+x^2-8x-15) = x^2+8x + 16 = (x+4)^2$

Vậy nên $xy = -1 \pm (x+4)$

thay trở lại phương trình ban đầu của hệ ta thu được nghiệm của nó !

[truclamyentu]

một cách giải khác:

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}{{(x + y)}^2} = 2x + 9}\\{{{(x + y)}^2} = {y^2} + 6x + 6}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow \dfrac{{2x + 9}}{{{x^2}}} - 6x - 6 = {\left( {\dfrac{{6x + 6 - {x^2}}}{{2x}}} \right)^2} \Leftrightarrow x + 4 = 0\end{array}$

TIẾP TỤC NHA:


2/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}y + {y^3} = 2{x^4} + {x^6}}\\{(x + 2)\sqrt {y + 1} = {{(x + 1)}^2}}\end{array}} \right.$

Edited by truclamyentu, 24-05-2011 - 21:46.

[Lê Xuân Trường Giang]

TIẾP TỤC NHA:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}y + {y^3} = 2{x^4} + {x^6}}\\{(x + 2)\sqrt {y + 1} = {{(x + 1)}^2}}\end{array}} \right.$

Từ pt đầu ta có :
$\begin{array}{l}2{x^2}y - 2{x^4} - {x^6} + {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2}\left( {y - {x^2}} \right) + \left( {y - {x^2}} \right)\left( {{x^4} + {x^2}y + {y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - {x^2}} \right)\left( {{x^4} + {x^2}y + {y^2} + 2{x^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y = {x^2}\end{array}$
Thế vào thì được $\left( {x + 2} \right)\sqrt {{x^2} + 1} = {\left( {x + 1} \right)^2}$
các bạn giải tiếp tôi cái nha.

[h.vuong_pdl]

Gặp bài này, chúng ta cần suy nghĩ nên phân tích ở đâu, phương trình (1) hay phương trình (2), hay kết hợp cả 2 phương trình ........

Và với hệ này, như anh trường Giang trình bày thì chúng ta chọn suy nghĩ phân tích phương trình đầu:

Với phương trình còn lại là: $(x+2)\sqrt{x^2+1} = (x+1)^2.$

có kha khá cách giải hay để giải quyết nó ( vì đây là một phương trình khá đặc biệt, mình xin trình bày 1 cách!

Đặt 2 ẩn phụ: $a = \sqrt{x^2+1}, b = x+2.$

ta có $\textup{pt} \Leftrightarrow ab = a^2+2b-4 \Leftrightarrow (a-2)(a+2-b) = 0$

Đến đây thì thực sự chúng ta đã có thể dừng lại!

[tranthienchien]

một cách giải khác:

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}{{(x + y)}^2} = 2x + 9}\\{{{(x + y)}^2} = {y^2} + 6x + 6}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow \dfrac{{2x + 9}}{{{x^2}}} - 6x - 6 = {\left( {\dfrac{{6x + 6 - {x^2}}}{{2x}}} \right)^2} \Leftrightarrow x + 4 = 0\end{array}$

TIẾP TỤC NHA:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2}y + {y^3} = 2{x^4} + {x^6}}\\{(x + 2)\sqrt {y + 1} = {{(x + 1)}^2}}\end{array}} \right.$

Chia cả hai vế của pt 1 Cho $ X^{3}$ -> xét hàm đặc trưng->$ Y= X^{2}$

Edited by tranthienchien, 21-05-2011 - 21:11.

[truclamyentu]

TIẾP TỤC:


3/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{y^2} - 8x + 9} - \sqrt[3]{{xy + 12 - 6x}} \le 1}\\{\sqrt {2{{(x - y)}^2} + 10x - 6y + 12} - \sqrt y = \sqrt {x + 2} }\end{array}} \right.$


4/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 8{y^3} - 4x{y^2} = 1}\\{2{x^4} + 8{y^4} - 2x - y = 0}\end{array}} \right.$


5/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(3{y^2})}^{{{\log }_3}2}} - {x^{{{\log }_5}3}} = x}\\ {{{(5{x^2})}^{{{\log }_5}2}} - {y^{{{\log }_3}5}} = y}\end{array}} \right.$

6/$x^3-3x=\sqrt{x+2}$

Edited by truclamyentu, 24-05-2011 - 22:16.

[NguyThang khtn]

7.$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt {xy} + \sqrt {1 - 2y} \le 2y}\\{2005\sqrt {2xy - y} + 2006y = 1003}\end{array}} \right.$


8.$\sqrt{4x^2+y}=\sqrt{4x-y}-\sqrt{y^2+2}$

Edited by truclamyentu, 24-05-2011 - 23:28.

[Lê Xuân Trường Giang]

TIẾP TỤC:

5/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(3{y^2})}^{{{\log }_3}2}} - {x^{{{\log }_5}3}} = x}\\ {{{(5{x^2})}^{{{\log }_5}2}} - {y^{{{\log }_3}5}} = y}\end{array}} \right.$

Bạn cho ý kiến nha :
ĐK : $x,y>0$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(3{y^2})}^{{{\log }_3}2}} - {x^{{{\log }_5}3}} = x}\\{{{(5{x^2})}^{{{\log }_5}2}} - {y^{{{\log }_3}5}} = y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2y^{{{\log }_3}4}} - {x^{{{\log }_5}3}} = x\\{2x^{{{\log }_5}4}} - {y^{{{\log }_3}5}} = y
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2y^{\dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}}}} - {x^{\dfrac{{\ln 3}}{{\ln 5}}}} = x\\{2x^{\dfrac{{\ln 4}}{{\ln 5}}}} - {y^{\dfrac{{\ln 5}}{{\ln 3}}}} = y\end{array} \right.$
Trừ 2 vế : $ \Rightarrow {2x^{\dfrac{{\ln 4}}{{\ln 5}}}} + {x^{\dfrac{{\ln 3}}{{\ln 5}}}} + x = {2y^{\dfrac{{\ln 4}}{{\ln 3}}}} + {y^{\dfrac{{\ln 5}}{{\ln 3}}}} + y$
Đây là 2 hàm đồng biến nên $x=y$ thế vào pt đầu ta có $x=y=1$ là nghiệm.

Edited by Lê Xuân Trường Giang, 25-05-2011 - 01:10.

[inhtoan]

9/Giải phương trình: $4x^2-8x+\sqrt{2x+3}=1 (x \in R)$

Edited by truclamyentu, 25-05-2011 - 09:40.

[truclamyentu]

9/Giải phương trình: $4x^2-8x+\sqrt{2x+3}=1 (x \in R)$

điều kiện : $x \ge - \dfrac{3}{2}$

phương trình tương đương với:

$\begin{array}{l}{(2x - 2)^2} + (2x - 2) = (2x + 3) + \sqrt {(2x + 3)} \\\\(2x + 3) \ge 0 \Rightarrow (2x - 2) \ge 0\\\\f(a) = {a^2} + a(a \ge 0)\\\\f(a) = 2a + 1 > 0;f(2x - 2) = f(\sqrt {2x + 3} ) \Rightarrow 2x - 2 = \sqrt {2x + 3} \end{array}$

8.$\sqrt{4x^2+y}=\sqrt{4x-y}-\sqrt{y^2+2}$

điều kiện : 4x-y 0 và $4x^2+y \geq 0$

phương trình tương đương với:

$\begin{array}{l}\sqrt {4{x^2} + y} + \sqrt {{y^2} + 2} = \sqrt {4x - y} \\\\\Leftrightarrow 4{x^2} + y + {y^2} + 2 + 2\sqrt {(4{x^2} + y)({y^2} + 2)} = 4x - y\\\\\Leftrightarrow {(2x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + 2\sqrt {(4{x^2} + y)({y^2} + 2)} = 0\\\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\y + 1 = 0\\4{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{2}}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\end{array}$

Edited by bboy114crew, 25-05-2011 - 13:33.

[h.vuong_pdl]

bài 4:

Nhìn nhận: giả như có: x= y, như vậy thì cả 2 phương trình đều là bậc 3 sau khi rút gọn x ở pt sau.
Như vậy nhân đảo 2 vế ta có phương trình bậc 3 và việc giải quyết thật đơn giản.

Từ đây, ta có hướng giải quyết nhằm biến "ước mơ" giả định đó thành hiện thực bằng pp đặt như sau:

Bài giải: Đặt $y = tx$, nhận xét $x = 0 \to y = \dfrac{1}{2}$
Xét $\textup{TH: } x \ne 0$, ta có hệ tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {1 + 8{t^3} - 4{t^2}} \right) = 1 \\ {x^3}\left( {2 + 8{t^4}} \right) = 2 + t \\ \end{array} \right. \\ \\ \Rightarrow \left( {2 + t} \right)\left( {1 - 4{t^2} + 8{t^3}} \right) = 2 + 8{t^4} \Leftrightarrow t\left(6t-1 \right)\left(2x-1\right) = 0$

Việc còn lại không có gì khó khăn

Edited by h.vuong_pdl, 25-05-2011 - 22:41.

[h.vuong_pdl]

Bài 9: @@@truclamyentu: bạn có 1 cách biến đổi + dùng đọa hàm khá hay, tuy nhiên đây là một dạng sở trường của pp đặt ẩn phụ.
có lẽ có đến vài ba cách, nhưng mình xin trình bày cachs quen thuộc nhất của mình như sau:

Bài Giải: biến đổi chút để đưa về dạng quen thuộc:

$\textup{pt } \Leftrightarrow (2x-2)^2-5=\sqrt{2x-2+5}$

Đặt $y =2x-2$ thì phương trình trở thành:

$y^2-5=\sqrt{y+5}$

p/s: @@@ đến đây thì không còn gì khó khăn nữa.

Cách 1: Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng kiểu II: $t = \sqrt{y+5}$

$\left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 5 = t \\ {t^2} = y + 5 \\ \end{array} \right. \Rightarrow {y^2} + y = {t^2} + t \Leftrightarrow (y - t)(y + t + 1) = 0$

Từ đó thế và giải pt ẩn y rồi ẩn x.

Cách 2: biến đổi pt về dạng:

$\textup{pt } \Leftrightarrow \left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\sqrt{y+5}+\dfrac{1}{2}\right)^2$

Từ đó ta cũng có nghiệm của pt !

[truclamyentu]

TIẾP TỤC:
3/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{y^2} - 8x + 9} - \sqrt[3]{{xy + 12 - 6x}} \le 1}\\{\sqrt {2{{(x - y)}^2} + 10x - 6y + 12} - \sqrt y = \sqrt {x + 2} }\end{array}} \right.$

điều kiện : $x \ge - 2;y \ge 0$

ta có:
$\begin{array}{l}\sqrt {2{{(x - y)}^2} + 10x - 6y + 12} = \sqrt {2{{(x - y + 2)}^2} + 2(x + y + 2)} \\\\\ge \sqrt {2(x + y + 2)} = \sqrt {(1 + 1)({{\sqrt y }^2} + {{\sqrt {x + 2} }^2})} \ge \sqrt y + \sqrt {x + 2}\end{array}$
kết hợp với phương trình thứ 2 của hệ suy ra y=x+2 thế vào bất phương trình đầu ta được:

$\sqrt {{x^2} - 4x + 13} - \sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 12}} \le 1$

đặt:
$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{{x^2} - 4x + 12}} = a \Rightarrow a \ge 2\\\\ \Rightarrow \sqrt {{a^3} + 1} \le a + 1 \Leftrightarrow {a^3} + 1 \le (a + 1)\\\\ \Leftrightarrow (a + 1){(a - 1)^2} \le 0 \Leftrightarrow a = 1\Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 4\end{array}$

Edited by truclamyentu, 26-05-2011 - 10:26.

[alex_hoang]

thêm một bài hệ phương trình nửa (thi hoc sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình)
10/ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3x = y}\\{{y^3} - 3y = z}\\{{z^3} - 3z = x}\end{array}} \right.$

Edited by truclamyentu, 26-05-2011 - 10:56.

[alex_hoang]

HỆ PHƯƠNG TRÌNH , PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI ĐẠI HỌC 2011
HI VỌNG CÁC BẠN ỦNG HỘ

Như các bạn đã biết , trong kì thi tuyển sinh đại học thì luôn có ít nhất là 2 câu pt,hpt vì vây mình lập topic này để mọi người cùng tham gia trao đổi ,thảo luận.Mời các bạn tham gia giải và post đề
Đề nghị : chuẩn xác , rõ ràng , không quá vắn tắt,kiểm tra kĩ đề trước khi post đề


1/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} + 2{x^3}y + {x^2}{y^2} = 2x + 9}\\{{x^2} + 2xy = 6x + 6}\end{array}} \right.$

Bai 11
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8({x^3} + {y^3} + {z^3}) = 73}\\{2({x^2} + {y^2} + {z^2}) = 3(xy + yz + zx)}\\{xyz = 1}\end{array}} \right.$

Edited by truclamyentu, 26-05-2011 - 19:33.

[truclamyentu]

thêm một bài hệ phương trình nửa (thi hoc sinh giỏi lớp 12 tỉnh Thái Bình)
10/ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} - 3x = y}\\{{y^3} - 3y = z}\\{{z^3} - 3z = x}\end{array}} \right.$

Nếu x 2 thì từ hệ suy ra : y 2, z 2 . giả sử x y z , vì hàm $ f(a)= a^3-3a $ đồng biến trên [2;+ ] nên từ hệ ta sẽ có : y z x . suy ra x=y=z . suy ra x=y=z=2

Nếu x -2 thực hiện tương tự , suy ra x=y=z=-2

Nếu x (-2;2) , đặt x=2cosa ; $a \in (0;\pi )$

khi đó :

$\begin{array}{l}y = {x^3} - 3x = 2(4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}a - 3\cos a) = 2\cos 3a\\\\\Rightarrow z = {y^3} - 3y = 2(4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}3a - 3\cos 3a) = 2\cos 9a\\\\\Rightarrow \cos a = x = 2(4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}9a - 3\cos 9a) = 2\cos 27a\\\\\Rightarrow \cos a = \cos 27a \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{{ - k\pi }}{{13}}}\\\\{a = \dfrac{{k'\pi }}{{14}}}\end{array}} \right.\\\\ \Rightarrow a \in {\rm{\{ }}\dfrac{\pi }{{13}};\dfrac{{2\pi }}{{13}};...\dfrac{{12\pi }}{{13}};\dfrac{\pi }{{14}};\dfrac{{2\pi }}{{14}};...;\dfrac{{13\pi }}{4};\pi {\rm{\} }}\end{array}$

với mỗi giá trị của a ở trên cho ta một nghiệm.

tổng cộng hệ trên có đến 28 nghiệm ........

P/S: ***** đề nghị các bạn giải quyết 2 bài 6,7 rồi tiếp tục gửi đề

***** nhờ bboy114crew kiểm tra lại đề câu 7

Edited by truclamyentu, 26-05-2011 - 21:44.

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bai 11
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8({x^3} + {y^3} + {z^3}) = 73}\\{2({x^2} + {y^2} + {z^2}) = 3(xy + yz + zx)}\\{xyz = 1}\end{array}} \right.$

Đặt $p=x+y+z ; q=xy+xz+yz ; r=xyz $
Hệ thành
$ \left\{\begin{array}{l}{8(p^3-3pq+3r)=73}\\{2p^2=7q}\\{r=1}\end{array}\right. $
Đến đây thì giải đơn giản bằng phương pháp thế

Edited by Nguyễn Hoàng Lâm, 26-05-2011 - 23:30.

[h.vuong_pdl]

3/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{y^2} - 8x + 9} - \sqrt[3]{{xy + 12 - 6x}} \le 1}\\{\sqrt {2{{(x - y)}^2} + 10x - 6y + 12} - \sqrt {y} = \sqrt {x + 2} }\end{array}} \right.$

Nhận xét: Với bài toán này thì ý nghĩ khai thác phương trình sau là rất tự nhiên + hợp lí.

bài giải:
Tạm thời chưa nói đến điều kiện:
Khai thác phương trình sau:
$\textup{pt } \Leftrightarrow {\sqrt {2{{(x - y)}^2} + 10x - 6y + 12} = \sqrt{y} + \sqrt{x+2} $

$\Leftrightarrow \sqrt{4\left(x-y\right)^2 + 20x - 12y +24}= \sqrt{2y} + \sqrt{2x+4}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left(2x-2y+4\right)^2+4x+4y+8} = \sqrt{2y} + \sqrt{2x+4}$

Nhận xét: $\textup{VT} \ge \sqrt{4x+8+4y} \ge \sqrt{2x+4} + \sqrt{2y} = \textup{VP}$

Đẳng thức xảy ra khi $x+2=y$, rồi thay vào bất phương trình, ta có:

$\sqrt{x^2-4x+13} - \sqrt[3]{x^2-4x+12} \le 1,$

Đặt ẩn phụ $t = \sqrt[3]{x^2-4x+12}$, ta có thể giải tiếp bài toán !

7.$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt {xy} + \sqrt {1 - 2y} \le 2y}\\{2005\sqrt {2xy - y} + 2006y = 1003}\end{array}} \right.$

Bài này có hình thức khá gồ ghề + hệ gồm bất phương trình + phương trình khiến ta thấy khá nản, nhưng thực chất là một bài toán khá đơn giản.

Bài giải:

Từ: $2\sqrt {xy} + \sqrt {1 - 2y} \le 2y \Rightarrow \dfrac{1}{2} \ge y \ge 0$

xét phương trình sau: $2005\sqrt {2xy - y} + 2006y = 1003 \Rightarrow y\left(2x-1\right) \ge 0 \Rightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$

Lại từ $2\sqrt {xy} + \sqrt {1 - 2y} \le 2y \Rightarrow 2y \ge 2\sqrt{xy} \Rightarrow y \ge x$

Vậy rõ ràng hệ có nghiệm khi $x = y = \dfrac{1}{2}$

Thử lại thấyy thỏa mãn, vậy đó chính là nghiệm duy nhất của hệ.

Edited by h.vuong_pdl, 26-05-2011 - 21:08.

[truclamyentu]

****câu 12 : đây là một câu mình đã gửi ở topic khác nhưng chưa có lời giải
(nó nằm trong chuyên đề của thầy TRẦN PHƯƠNG )

$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x-y}{1-xy} = \dfrac{1-3x}{3-x} \\\dfrac{x+y}{1+xy} = \dfrac{1-2y}{2-y} \end{array}\right.$


$\begin{array}{l}13/{x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{(x + 2)}^3}} - 6x = 0\\\\\\14/\dfrac{{15}}{2}(30{x^2} - 4x) = 2004(\sqrt {30060x + 1} + 1)\end{array}$

Edited by truclamyentu, 26-05-2011 - 21:51.